以绷簧为根底了解机械波的能量

　　为什么处于平衡方位的媒质的质元的弹性势能反而是最大的？为什么质元的动能与势能同步改变？

　　当然，你或许会依据一些特例来协助了解这样一些问题。例如，颤动一根水平绳产生横波时，你留意到那些坐落平衡的方位，由于两头遭到的拉力指向相反方向，所以 形变是最厉害的；而处在最高或最低点的那些方位，两头遭到的力指向同一方向，尽管具有最大的加速度，但自身的形变却为零。所以势能最大的方位应该在平衡方位。

　　假如用力颤动一根软绷簧构成横波，那么会看到平衡方位处，绷簧形变最显着，而最低和最高点简直仍是原样，如下图所示。

　　至于动能，你也简单想到一个屡试不爽的规则：平衡方位的加速度为零，速度必定最大，所以动能便是最大。

　　如此一来，动能和势能同步抵达最大，当然也会同步抵达最小，所以它们同步改变的规则就坐实了。

　　但若要较真，机械波的能量的规则究竟该怎样得到呢？那你还得用一点数学。下面较具体的给出一个推理剖析的进程。

　　其间 为顽强系数。假如绷簧的资料和粗细确认，更长的绷簧，顽强系数更小，这个应该很好了解，绷簧越长，拉起来当然就没那么吃力了。 按此规则，可将顽强系数写成 其间 是一个常数，取决于绷簧的粗细和资料性质。

　　那么上面的势能能够写成 这儿成心拼凑了一个新变量—— ，即相对伸长量。由于 是常量，所以，对某个绷簧（资料、粗细和原长确认），其贮存的势能由它的相对伸长量决议。

　　那么，对一段长为 的媒质，它所贮存的势能也是相似的：取决于它的相对形变量。

　　你或许认为，这段媒质的中心的偏移量会产生势能，这其实是一种幻觉。媒质中各点的必定偏移量并不一定会构成弹性势能！

　　幻想你手里拿着的一把尺子，假定它现在全体移动一段距离，很明显，整个尺子的重力势能确实变了，但一直没有形变，所以也没有弹性势能！但明显，尺子上各点不是产生了偏移吗？！

　　所以，从根本上说，只有当内部各点的位移不同，导致各点之间产生相对位移，也便是物质产生了形变时，才会构成弹性势能。

　　对机械波来说，波函数的变量 是描绘媒质中点的偏移量的。它是方位 和时刻 的函数，换句话说，同时刻不同点的偏移量不共同呀！所以天然会导致各点之间产生相对位移，也便是波的媒质产生形变，这就能导致弹性势能啦！

　　形变后，两端点的纵向偏移量分别是 和 。左端坐标变为 + ，而右端坐标变为 + + + 。

　　因而，形变后的媒质的长度是 + ，必定伸长量为 ，故相对原长 的相对形变——相对伸长量为

　　假如将右侧的 移到左面相除，则得到的是该段介质内的均匀势能密度 ，故 模仿均匀速度到瞬时速度的过渡方法——将时刻 得到恣意时刻的速度，现在考虑无限小的一段介质，上式中的 ，无量小量变成微重量，用 替代 ，则得介质中恣意点的势能密度为

　　实际上，考虑恣意时刻的景象， 是 和 的函数 ，故使用偏导符号 替代 重写为 这下好了！谁的导数？偏移量 对质元坐标 的偏导数，也便是质元的偏移量对坐标的改变率！这不便是波形曲线上某一点切线的斜率吗？

　　所以，媒质中质元的势能取决于波形曲线上的切线的斜率，斜率必定值越大，势能越大，必定值越小，势能就越小。

　　很明显，波形曲线上，平衡方位处的斜率必定值最大啊！所以这一个方位的势能最大！啥当地斜率为零？当然便是波峰和波谷处，所以这些方位的势能为零！

　　上面的推导是依照纵波来进行的，假如是横波，物质会产生横向形变，核算略微杂乱一点，但终究的规则是共同的。

　　由上面的剖析可知，要得到势能确实切的表达式，就要确认式中的 的值，它反映这段媒质的顽强系数除了长度之外的其它影响。那么，这些所谓“其它影响”有哪些呢？

　　资料的弹性？对！切当的叫弹性模量。还有呢？这段媒质的粗细？必定越粗越难抵挡吧？没错！

　　弹性模量这样的一个东西，是针对固体来说的，对液体来说，也有相应的那个量。总归，便是物体自身的弹性性质。

　　假定弹性模量用 表明，媒质的粗细，也便是它的底面积用 表明，则得 据此，上面的势能 可表明为 这其间， 正好便是媒质的体积 ；而一般来说，弹性模量 与波速 的关系为 其间 是密度，依据 ，上面的势能可写成 假如查询一个段媒质的微元，则上式为 将波函数 对 的偏导代入，即得势能的表达式为 再看动能部分。

　　其间 是媒质的振荡速度——留意，媒质并没有跟着波运动！所以这儿的 不是波速，而是媒质偏移的速度——振荡速度，依照速度的界说便是 得到动能为

　　这才发现，质元的动能和势能随方位和时刻的改变规则居然完全相同，用更物理的语言说，它俩是同幅同相改变的，对确认点，二者的值每时刻都完全共同！

　　机械波的能量是动能与势能之和，那么天然的，质元 的机械能为 即 可化为 这下完全看清楚了，能量与坐标和时刻相关的部分 具有简谐波的规范方式。因而，机械波的能量自身也构成一个简谐波，它的频率是波的频率的两倍。对简谐波来说，能量的传达速度便是波自身的速度，即相速度 。

　　已然简谐波的能量随时刻周期改变，阐明简谐波的媒质的质元的能量并不守恒，这一点与简谐振荡不同。很多人觉得这一点违背直觉。他们都认为：简谐波的媒质的质元不都在做简谐振荡吗？已然如此，质元的能量应该是守恒的呀！？

　　问题的症结在于，简谐波的质元并不是做简谐振荡，由于相邻的质元之间有力的效果，所以质元做的是受迫振荡而非简谐振荡。

　　当波前刚抵达某个质元时，它还处于平衡方位，此刻质元的能量是最大的。在一个波峰或波谷抵达某质元的进程中，它的能量沿波的传达方向流出——由于它需求策划它的街坊跟着一同动起来；当波峰或波谷抵达质元后，它又重新开始吸收来自波源方向传入的能量，再次回到平衡方位。如此重复，能量沿着波线方向不断向前传达。

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